Loi binomiale et calcul formel ...

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Loi binomiale et calcul formel ...

Message par The K le Mar 18 Sep - 16:28

Bonjour espace-ti Content

(tout d'abord désolé si je me suis trompé de sous-forum je n'étais pas sur de l'endroit - merci de déplacer ceci si besoin Clin Oeil ! )

Aujourd'hui que j'étais en cours de DNL maths ( = maths en anglais) nous avons vu une jolie formule à propos de la loi binomiale couplé au triangle de Pascal etc, qui, en fait, résume n'importe développement formel à une formule.

J'entends par développement formel quelque chose du genre : (x+2)² (exemple très simple, mais ça se complique après)

Et donc voila la formule qui permet de calculer ceci :

Pour a et n réels réels :

Code:
 
          n     
(x+a)^n = ∑ [ ( n combinaison j ) * x^n-j * a^j ]
        j=0 

Ce qui nous donne dans le cas de (5x+6)² : (C = combinaison)

2C0 * 5x^(2-0) * 6^0
+ 2C1 * 5x^(2-1) * 6^1
+ 2C2 * 5x^(2-2) * 6^2

= 1*5x^2*1
+ 2*5x*6
+ 1*1*36

= 5x²+60x+36

Bref : une grosse formule pour si peu ?

En effet la n'est pas l’intérêt principal (bien que ce soit déja fort intéressant !). En effet, le prof de DNL (bac+9 !) m'a parlé après le cours, d'une généralisation de cette formule : la loi multinomiale.

Et de la même manière il existe une formule bien plus grosse que celle-ci qui permettrait de développer un peu n'importe quel polynôme.

Je suis désolé, celle-ci, il m'a dit de la chercher sur internet mais ... je trouve pas ! Bref. (je demanderai a mon prof si je le revois !)

Enfin dernière interrogation : pourquoi espace-ti ?

Parce que eh bien le monsieur bac+9 ne m'a pas montré la formule générale mais rien que celle pour un polynôme de degré3. Et déja la dedans il a une somme de somme : ∑ ∑ ! Alors pour degré5 et plus ...
Vous imaginez la galère en basic ... cela mettrait clairement beaucoup de temps !

Je pense être capable de faire cet algorithme en basic. Mais ou serait l'utilité puisque le programme mettrait 5 minutes avant de donner une réponse ?

D'où ma question : seriez-vous capable de le faire en Axe / Grammer / Asm ? (les trois langages les plus rapides je pense).

Merci à vous ^^ Et j'essaie d'apporter la formule générale dès que je la trouve !

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Re: Loi binomiale et calcul formel ...

Message par Le Grec le Mar 18 Sep - 16:49

Moi je te conseille de le faire toi même! ^^

Comme ce ne sont "que" des math, je suppose que ça ne doit pas être très dur à faire, si tu as quelques bases.

Note importante: ceci n'est qu'une supposition! ^^

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Re: Loi binomiale et calcul formel ...

Message par The K le Mar 18 Sep - 17:01

Déja qu'en basic ce n'est pas une simple affaire pour un polynome de k termes a la puissance n ...
Alors en autre langage ! No way ^^

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Re: Loi binomiale et calcul formel ...

Message par noelthebest le Mar 18 Sep - 18:33

attends tu parles du dév de la loi de newton avec le triangle de pascal enfin bref un truc du genre ? Peur

ce truc-là ?

(a+b)^7=a^7+5a^6b+21a^5b^2+...+b^7 ??


Dernière édition par noelthebest le Mer 19 Sep - 10:30, édité 1 fois

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Re: Loi binomiale et calcul formel ...

Message par The K le Mar 18 Sep - 18:42

Ça a l'air d'y ressembler et en effet il y avait un lien avec le triangle de Pascal avec les coefficients de a et b ...

Mais Loi de Newton pas entendu parler Triste
(après peut-être que c'en est bien une je n'ai eu qu'une fenêtre réduite de la chose sous mes yeux ...)

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Re: Loi binomiale et calcul formel ...

Message par noelthebest le Mar 18 Sep - 18:44

Moi on m'avait parlé du développement du binôme de Newton à l'aide du triangle de Pascal...

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Re: Loi binomiale et calcul formel ...

Message par The K le Mar 18 Sep - 18:59

Binôme de Newton ... Eh !
Je me renseignerai demain ça sonne bien Clin Oeil

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Re: Loi binomiale et calcul formel ...

Message par noelthebest le Mar 18 Sep - 19:04

Elle est comment la sonnerie dans ton lycée ?

Donc tu veux faire un algo qui te calcule une identité remarquable du genre. ok.
Je vois comment tu pourrais faire, mais je dois y aller, je te dirait juste les grandes lignes, le reste ca attendra demain aussi ^^

-> Input ton expression
-> Tu checkes l'exposant à la fin
-> boucle for vu que les exposants de a et b ca s'incrémente / ça se décrémente
-> le triangle de pascal faut calculer les nombres qu'il faut...

Au fait, je me rends compte que j'avais fait une erreur dans mon développement. J'avais oublié les coefficients... désolé.

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Re: Loi binomiale et calcul formel ...

Message par The K le Mar 18 Sep - 19:14

Ah non mais en basic je vois comment ça marche ^^

Juste que ce serait très lent pour une expression du genre :

(5x+8y-3z+4)^6
(si je retrouve la formule "multinomiale"

Pour ça que je demande si en axe une âme bienveillante pourrait traduire l'algorithme que je lui fournirais Clin Oeil

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Re: Loi binomiale et calcul formel ...

Message par linkakro le Mar 18 Sep - 20:17

C'est clair que le binôme est trop simple à côté de la loi multinômiale dont tu parles. Clin Oeil

Le binôme se détermine avec la fonction combinaison et quelques fonctions de plus permettent d'afficher les coeffs d'un seul coup.
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Le triangle de Pascal est utile seulement à l'écrit.

Si le but est de déterminer une formule par force brute (inclusion de binomes), alors le Basic sera dépassé au niveau vitesse.
Mais si la formule multinomiale existe bel et bien, alors elle sera applicable même en basic sans difficulté infranchissable.

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Re: Loi binomiale et calcul formel ...

Message par The K le Mer 19 Sep - 11:50

Eh eh c'est en effet cela Linkakro Clin Oeil

En fait les seules formules que j'ai trouvées à propos de loi multinomiale servent pour des probabilités (comme les probabilités avec la loi binomiale en fait !) ...

Il faudrait p-e faire un triangle de Pascal en k dimensions pour qqchose du genre (a+b+...+k)^n ?

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Re: Loi binomiale et calcul formel ...

Message par linkakro le Mer 19 Sep - 15:41

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C'est presque simple lorsqu'on compresse tout.
Mais on obtient bien une composition de sommes en développant la somme globale.

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Re: Loi binomiale et calcul formel ...

Message par The K le Mer 19 Sep - 19:46

Ça ressemble en effet a qqchose de compréhensible ...

Mais à quoi correspondent les "k" ?

Et le gros Pi que fait-il ? Merci ^^

(le reste ça devrait le faire)

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Re: Loi binomiale et calcul formel ...

Message par linkakro le Mer 19 Sep - 20:22

Le Pi est un produit noté de la même manière que sigma.
Les k sont les variables de la somme (sous-entendus entiers naturels) et on les retrouve dans les combinaisons et les puissances à appliquer à chaque x.
La notation k1+k2+...+km=n sous-entend que LES variables de la somme sont TOUS les k tels que la relation soit vérifiée.
Cela évite de déterminer l'ensemble de tous les m-uplets.

J'élabore un programme récursif (en basic) pour traiter le problème en fonction de M sans prévoir de boucles à l'avance.

edit: corrigé "n-uplet" en "m-uplet" et précisé programme basic


Dernière édition par linkakro le Lun 24 Sep - 19:55, édité 1 fois

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Re: Loi binomiale et calcul formel ...

Message par The K le Ven 21 Sep - 20:03

Waouw merci beaucoup Linka ! (une fois de plus ... !!! )

J'essaie de m'atteller également au problème pour voir ce que je suis capable de faire.

Cependant euh ... programme récursif ... je sais ce qu'est la récusivité mais qu'entends tu pas la en algorithmique ? Clin Oeil

Merci ^^

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Re: Loi binomiale et calcul formel ...

Message par linkakro le Sam 22 Sep - 14:07

Un algorithme récursif s'appelle lui même au cours de son traitement.
C'est comme imbriquer un même code plusieurs fois dans lui-même.
Et la récursivité permet que le nombre d'algorithmes imbriqués ne soit pas prédéfini.
Mon premier travail récursif, sur TI qui-plus-est Très Content.
[Vous devez être inscrit et connecté pour voir ce lien]
Juste pour culture g : un algorithme récursif de moins de dix lignes permet de résoudre les tours de Hanoï et donc de gérer facilement les piles mémoires dans de très vieux ordinateurs.

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Re: Loi binomiale et calcul formel ...

Message par linkakro le Lun 24 Sep - 21:12

J'ai fini le code fonctionnel. Très Content
Récursif jusqu'à la moelle avec la même méthode que mes deux autres récursifs en particulier FACT.
L'affichage laisse à désirer puisque je montre le coefficient et une liste de puissances pour chaque terme.
Spoiler:
Code:
/////////// prgm NOME
ClrHome
Horiz
AxesOff
ClrDraw
Text(0,0,"Y=( X1 +...+ XM )^N
Prompt M,N
ClrDraw
Text(0,0,"Y=Q1*X1^P11 *...* XM^P1M
Text(6,0," +Q2*X1^P21 *...* XM ^P2M + ...
Text(12,0,"CI-DESSOUS J'INDIQUERAI
Text(18,0,"Q?  ET  {P?1,...,P?M}
Text(24,0,"DE CHAQUE LIGNE
ClrList L1
DelVar JprgmNOMEZ
Full
ClrHome
Code:
//////////// prgm NOMEZ
J+1->J
For(W,0,N
W->L1(J
If J<M
Then
prgmNOMEZ
J-1->J
L1(J->W
Else
If N=sum(L1
Then
Disp N!/prod(L1!
Pause L1
End
End
End

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Re: Loi binomiale et calcul formel ...

Message par The K le Ven 28 Sep - 16:04

Waow Langue

Merci beaucoup Linka je vais tester ça tout de suite !

Et ... tiens je vais essayer de programmer un truc similaire histoire de voir ce que je peux faire aussi Clin Oeil

(ps : désolé pour le délai de réponse je suis moins actif en semaine)

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